Комплексные числа

Выбор темы "комплексные числа", их прошлое и настоящее " заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решении задач с параметрами.

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебра комплексных чисел может быть успешно использована в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах механического и физического содержания.

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратичным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. значения величин, полученные в результате решения этих уравнений, были названы комплексными числами.

1.     История комплексных чисел

Древнегреческие математики считали «действительными» только натуральные числа. Постепенно сформировалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначений вплоть до такой огромной, как наряду с натуральными числами использовались дроби - числа, состоящие из целого числа частей единицы. В практических расчетах дроби использовались две тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Долгое время считалось, что результат измерения всегда выражается либо натуральным числом, либо отношением таких чисел, то есть дробью. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «... элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир во лбу - это гармония и число. Сильный удар по этой точке зрения был нанесен открытием, сделанным одним из Пифагорейцы. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что эпоха Теоретическая математика начинается с этого открытия: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактным рассуждениям, было невозможно. [5, c.258]

Следующим важным этапом в развитии понятия числа было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до нашей эры.

Отрицательные числа использовались в 3 веке древнегреческим математиком Диофантом, который уже знал правила действия на них, а в 7 веке эти числа уже были подробно изучены индийскими учеными, которые сравнивали такие числа с долгом.

С помощью отрицательных чисел можно было унифицированно описать изменение количества. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, и извлечь квадратный корень из отрицательных чисел невозможно: такого числа не существует.

В XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Эта формула работает безупречно в том случае, если уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня появляется отрицательное число. Оказалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Следуя тому, как решались уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени не может быть решено алгебраически; точнее: невозможно выразить его корень через буквальные значения a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). [5, c.259]

История комплексных чисел

Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 2008.C. 152

2. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2008.C. 25-28

3. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 2007.C. 354-355

4. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 2009. C. 99

5. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 2009. C. 258-259

6 .Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2008. C. 895-896

7. http://ru.wikipedia.org – Википедия – свободная энциклопедия.

8. http://www.nigma.ru – интеллектуальная поисковая система