Нелинейная интерполяция

Интерполяция – в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Другими словами, интерполяция - это метод аппроксимации функции на основе набора известных значений. Когда имеются только несколько известных точек, задача состоит в том, чтобы предсказать значения функции в промежуточных точках между ними. Линейная интерполяция и нелинейная интерполяция - это два основных метода интерполяции, которые различаются способом аппроксимации функции.

Вариантов интерполяции существует некоторое множество, но в данной работе будет рассмотрена в большей степени нелинейная интерполяция.

Объект исследования – нелинейная интерполяция.

Предмет исследования – расчёты нелинейной интерполяции в среде Excel.

Цель исследования – изучение нелинейной интерполяции и её сравнение с линейной.

Задачи:

- охарактеризовать полиномы Ньютона и Лагранжа;

- дать определение нелинейной интерполяция;

- охарактеризовать методы нелинейной интерполяции;

- определить способы нахождения неизвестных значений посредством интерполяции в Excel.

В работе использованы обзорные методы и методы математического моделирования.

1. Полиномы Ньютона и Лагранжа

При решении многих задач возникает необходимость в замене функции f, о которой имеется неполная информация или форма которой слишком сложна, более простой и удобной функцией F, близкой в том или ином смысле к f, дающей её приближённое представление. Для аппроксимации (приближения) используются функции F, принадлежащие определённому классу, например, алгебраические полиномы заданной степени. Существует много разных вариантов задачи о приближении функции, зависящих от того, какие функции f аппроксимируются, какие функции F используются для аппроксимации, как понимается близость функций f и F и т.д.

Одним из методов построения приближённых функций является интерполирование, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполяции) совпадали значения исходной функции f и аппроксимирующей функции F. В более общем случае должны совпадать значения производных в заданных точках.

Интерполирование функций используется для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще; для приближённого восстановления функции по её значениям в отдельных точках; для численного дифференцирования и интегрирования функций; для численного решения нелинейных и дифференциальных уравнений и т.д.

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. Для некоторой функции  на отрезке [a,b] заданы n+1 значений  в точках , которые называются узлами интерполяции. При этом . Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x):

F(x0) = f(x0), F(x1) = f(x1), …, F(xn) = f(xn)

Геометрически это означает нахождение кривой определённого типа, проходящей через заданную систему точек (xi, yi), i = 0,1,…,n.

Если значения аргумента выходят за область [a,b], то говорят об экстраполировании – продолжении функции за область её определения.

Наиболее часто функция F(x) строится в виде алгебраического полинома . Существует несколько представлений алгебраических интерполяционных полиномов.

Римский Г.В. Корневой метод решения задач устойчивости интервальных систем // Вестник АН Беларуси. Сер. физ техн. навук. – 1994. – № 4. – С. 80–85.

Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем // Изве стия АН СССР. Техническая кибернетика. – 1991. – № 1. – С. 3–23.

Суходоев М.С., Гайворонский С.А. Интервально параметри ческий синтез робастной системы с гарантированными корне выми показателями качества // Современные техника и техно логии: Труды XIII Междунар. научно практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. – Томск, 26–30 марта 2007. – Томск: ТПУ, 2007. – С. 447–449.

Иванов А.И. Алгоритмы быстрой идентификации нелинейных динамических объектов // Электричество. – 1996. – № 4. – С. 30–38.

Nowak R.D. Nonlinear System Identification // Circuits Systems Signal Processing. – 2002. – V. 21. – № 1. – P. 109–122.

Гончаров В.И. Вещественный интерполяционный метод синтеза систем автоматического управления. – Томск: Изд во ТПУ, 1995. – 108 с. 4. Гончаров В.И., Лиепиньш А.В., Рудницкий В.А. Синтез робастных регуляторов низкого порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2001. – № 4. – С. 36–43.