Введение
Глава 1. Методологическая основа прогнозов временных рядов
1.1. Различные подходы, используемые для прогноза временных рядов
1.2. Модели временных рядов
1.3. Методы прогноза временных рядов, предлагаемые в известных программных пакетах
Глава 2. Интерполирование функций как один из методов прогноза временных рядов
2.1 Интерполирование функции и оценка ошибки прогнозирования временного ряда
2.1.1. Постановка основной задачи интерполирования
2.1.2. Интерполяционная формула Лагранжа
2.1.3. Разделенные разности
2.1.4.Интерполяционная формула Ньютона
2.1.5. Интерполяция кубическим сплайном
2.1.6. Эрмитовы (локальные) сплайны
2.2 Эксперимент по прогнозированию временных рядов методами интерполяции
2.3 Применение моделей временных рядов для прогнозирования в разных областях науки
Заключение
Литература
Анализ временных рядов представляет собой важную задачу математики, решение которой актуально и востребовано в экономической теории и практике, в социологии, в медицине и т.п. Характерной особенностью временных рядов является то, что наблюдения за некоторым объектом производятся последовательно во времени. Например, ежедневный объем продаж какого-нибудь товара, стоимость акции предприятия, уровень инфляции, обменный курс валют - все это временные ряды. Потребности практики, необходимость планирования требуют прогноза временных рядов.
На сегодняшний день существует множество методов прогнозирования
временных рядов: регрессионные и авторегрессионные, нейросетевые, на базе цепей Маркова, на основе модели экспоненциального сглаживания, на основе классификации и др. Наиболее популярными и широко используемыми являются классы авторегрессионных и нейросетевых методов.
Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки, свои границы применимости. Проблемой для практика становится выбор адекватного задачам исследования метода прогнозирования временных рядов, оценка погрешности прогноза.
Объектом исследования является прогнозирование временных рядов.
Предмет исследования – использование методов интерполяции при прогнозировании временных рядов.
Целью работы: сравнительный анализ результатов прогноза временных рядов методами интерполяции
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
- изучить литературу по данной теме;
- рассмотреть понятие временного ряда, в каких областях он применяется;
- систематизировать и классифицировать изученный материал, описать методы и модели прогнозирования временного ряда, уделив особое внимание методам интерполирования;
- описать некоторые способы оценки погрешности прогноза;
- программно реализовать некоторые интерполяционные методы прогнозирования временного ряда;
- провести эксперимент по прогнозированию временных рядов методами интерполяции, вычислить погрешность прогноза;
- произвести анализ результатов эксперимента, сделать выводы.
Выполненная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
В 1 главе приведены основные теоретические сведения о моделях прогнозирования временного ряда. Рассматривались регрессионные, авторегрессионные модели, модели экспоненциального сглаживания и нейросетевые модели.
Во 2 главе рассматривается теория интерполяции с помощью многочленов и сплайнами. Описан эксперимент по прогнозированию временных рядов методами интерполяции. В качестве временных рядов брались некоторые элементарные функции, графики парных валют, кривые статистики заболеваемости короновирусной инфекцией. Прогноз временных рядов производился в программной среде MS Excel, Gretl. Находилась погрешность прогноза. Произведен сравнительный анализ результатов экспериментов.
Библиография содержит источников.
Глава 1. Методологическая основа прогнозов временных рядов
1.1 Различные подходы, используемые для прогноза временных рядов
Временной ряд — это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления.
Анализ временных рядов — совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений. Прогнозирования временных рядов имеет широкое применение: от прогноза температуры до предсказания значения биржевых котировок и валютных пар.
Метод прогнозирования представляет собой последовательность действий, в результате выполнения которой определяется модель прогнозирования конкретного временного ряда. На первом этапе классификации методы можно условно поделить на две группы: интуитивные и формализованные (рис. 1).
Рисунок 1. Классификация методов прогнозирования
Интуитивные методы прогнозирования имеют дело с суждениями и оценками экспертов. На сегодняшний день они часто применяются в маркетинге, экономике, политике, так как система, поведение которой необходимо спрогнозировать, или очень сложна и не поддается математическому описанию, или очень проста и в таком описании не нуждается.
Формализованные методы — описанные в литературе методы прогнозирования, в результате которых строят модели прогнозирования, то есть определяют такую математическую зависимость, которая позволяет вычислить будущее значение процесса, то есть сделать прогноз.
На основе формализованных методов базируется две группы моделей: модели предметной области и модели временных рядов [1].
Модели предметной области — такие математические модели прогнозирования, для построения которых используют законы предметной области. Например, модель, на которой делают прогноз погоды, содержит уравнения динамики жидкостей и термодинамики. Прогноз развития популяции делается на модели, построенной на дифференциальном уравнении. То есть, в таких моделях используются зависимости, свойственные конкретной предметной области, модель, к которой требуется индивидуальный подход.
Модели временных рядов — математические модели прогнозирования, которые стремятся найти зависимость будущего значения от прошлого внутри самого процесса и на этой зависимости вычислить прогноз. Эти модели универсальны для различных предметных областей, то есть их общий вид не меняется в зависимости от природы временного ряда. Таким образом, можно говорить, что это обобщенные модели.
Составить общую классификацию моделей предметной области не представляется возможным. Для временных рядов модели могут быть разделены на статистические и структурные.
В статистических моделях зависимость будущего значения от прошлого задается в виде некоторого уравнения. К ним относятся:
- регрессионные модели (линейная регрессия, нелинейная регрессия);
Самым простым вариантом регрессионной модели является линейная регрессия. В основу модели положено предположение, что существует дискретный внешний фактор, оказывающий влияние на исследуемый процесс, при этом связь между процессом и внешним фактором линейна.
2) авторегрессионные модели (ARIMAX, GARCH, ARDLM);
- Авторегрессионная модель скользящего среднего
Модель авторегрессии является полезной для описания некоторых встречающихся на практике временных рядов. В этой модели текущее значение процесса выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений процесса и импульса, который называется «белым шумом.
- Авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью
Особенностью данной модели является предположение, что условное значение дисперсии зависит от предыдущих значений ряда и от предыдущих значений дисперсии.
- Авторегрессионнная модель с распределенным лагом
Часто при моделировании процессов на изучаемую переменную влияют не только текущие значения процесса, но и его лаги, то есть значения временного ряда, предшествующие изучаемому моменту времени.
3) модель экспоненциального сглаживания;
- Модель Хольта
Данная модель применяется для моделирования процессов, имеющих тренд. В этом случае в модели необходимо рассматривать две составляющие: уровень и тренд.
- Модель Хольта-Винтерса
Метод Близок к методу Хольта, применяется для процессов, которые имеют тренд и сезонную составляющую
4) модель по выборке максимального подобия.
В структурных моделях зависимость будущего значения от прошлого задается в виде некоторой структуры и правил перехода по ней. К ним относятся:
1) нейросетевые модели;
2) модели на базе цепей Маркова;
3) модели на базе классификационно-регрессионных деревьев.
Нейронная сеть – это система, способная изменять свою структуру под
воздействием внешних факторов. Нейронная сеть состоит из нейронов.
Нейрон – это переключатель, получающий и передающий импульсы, или сигналы. Если нейрон получает достаточно сильный импульс, то говорят, что нейрон активирован, то есть передает импульсы связанным с ним нейронам. Неактивированный нейрон остается в состоянии покоя и не передает импульс.
Нейрон состоит из нескольких компонентов: синапсов, соединяющих нейрон с другими нейронами и получающих импульсы от соседних нейронов, аксона, передающего импульс другим нейронам, и дендрита, получающего сигналы из различных источников, в т.ч. от синапсов.
При помощи нейронных сетей возможно моделирование нелинейной зависимости будущего значения временного ряда от его фактических значений и от значений внешних факторов посредством обучения ее на уже имеющихся данных.
Основные достоинства и недостатки различных моделей были сведены в таблицу 1.
Таблица 1.Сравнение моделей прогнозирования
|
Модель и метод
|
Достоинства
|
Недостатки
|
|
Регрессионные модели и методы
|
Простота, гибкость, прозрачность моделирования; единообразие анализа и проектирования.
|
Сложность определения функциональной зависимости; трудоемкость нахождения коэффициентов зависимости; отсутствие возможности моделирования нелинейных процессов (для нелинейной регрессии)
|
|
Авторегрессионные модели и методы
|
Простота, прозрачность моделирования; единообразие анализа и проектирования; множество примеров применения
|
Трудоемкость и ресурсоемкость идентификации моделей; невозможность моделирования нелинейностей;
|
|
Модели и методы экспоненциального сглаживания
|
Простота моделирования; единообразие анализа и проектирования
|
Недостаточная гибкость; узкая применимость моделей
|
|
Нейросетевые модели и методы
|
Нелинейность моделей; масштабируемость, высокая адаптивность; единообразие анализа и проектирования; множество примеров применения
|
Отсутствие прозрачности; сложность выбора архитектуры; жесткие требования к обучающей выборке; сложность выбора алгоритма обучения; ресурсоемкость процесса обучения
|
