Определители и его свойства в математике

Цель курсовой работы: рассмотреть определители и его свойства в математике.

Задачи:

рассмотреть матрицы и операции над ними;

раскрыть методы вычисления определителей, обратная матрица, ранг матрицы;

выявить использования систем компьютерной математики при вычислении определителей n-го порядка;

определить методы вычисления определителей.

Предметом является определители и их свойства.

Объект: методы вычисления определителей

Глава 1. Определители и их свойства

1.1 Матрицы и операции над ними

Произвольная сис тема вещ ественных чисел, за писанная в вид е таблиц ы, со держащей m строк и n сто лбцов, на зывается матрицей раз мерности

m и n и об означается = (a _{i  j} ) = A.

Числа a _{i j}  на зываются элемент ами матрицы А. Первый инд екс i означает номер строки, второй инд екс j — номер сто лбца, в кот орых сто ит элемент  a _{i j} .

Если число строк матрицы A равно числу ее сто лбцов n, то А на зывается квадратной матрицей по рядка n.

Матрица, им еющая тол ько одну строку, на зывается вектор – строкой.

Матрица, им еющая тол ько один сто лбец, на зывается вектор – сто лбцом.

Матрицы A = (a _{i  j} ) и B = (b _{i  j} ) на зываются равными, если они им еют одинаковую раз мерность и их элемент ы a _{i j}  и b _{i j} , сто ящие на  одинаковых местах, равны между  со бой [2, с. 23].

СЛОЖЕНИЕЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Если матрицы A и B им еют одинаковую раз мерность, то их суммой A + B на зывается матрица C, элемент ы кот орой c _{i j}  равны суммам со ответствующих элемент ов матриц A и B: c _{i j}  = a _{i j} + b _{i j} .

Произведением матрицы A на  число α на зывается матрица αA, по лученная из  матрицы A умножением все х ее элемент ов на  число α.

Для про извольной матрицы A матрица (– 1) · A об означается – A.

Сумма матриц A и – B об означается A – B.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ.

Произведение A B матриц A и B определен о, если число сто лбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В час тности, если A и B — квадратные матрицы одно го по рядка, то про изведения A B и B A определен ы.

Произведением матриц A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) на зывается матрица C = (c _{i j} ), об означаемая символом С = А В, кажд ый элемент  c _{i j} кот орой равен сумме про изведений элемент ов i – й строки матрицы А на  со ответствующие элемент ы  j – го сто лбца матрицы В, то есть

c _{i j} = a _{i 1} b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} + … + a _{i n} b _{n j} ( i = 1, 2, … , m;  j = 1, 2, … , n).

Иными слов ами, если матрицу A пре дставить как матрицу, строками кот орой являются векторы a ₁, a ₂ , … , a _m , а матрицу B — как матрицу, сто лбцами кот орой являются векторы b ₁, b ₂ , … , b _n , то элемент  c _{i j} матрицы С равен скалярному про изведению a _i b _j  векторов a _i и b _j.

ПРИМЕРЫ.

• = = ;
• = =

= .

Свойства умножения матриц.

• α (A B) = (α A) B = A (α B);
• (А В) С = А (В С);
• (А + В) С = А С + В С; C (A + B) = C A + C B.

Умножение двух матриц в об щем слу чае не  об ладает сво йством коммутативности, то есть А В ≠ В А (см. рас смотренные при меры) [3, с.43].

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ.

Матрица A^T, строки кот орой являются сто лбцами матрицы A с тем и же по рядковыми номерами, на зывается транс понированной к матрице A.

Если A = (a _{i j} ) и A^T = (a^T_{i j} ), то a ^T_{i j} = a _{j i} .

Пример. = .

Свойства транс понирования.

• (α A)^T = α A^T
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (AB)^T = B^T A^T
  
  

1.2 Методы вы числения определителей, обратная матрица, ранг матрицы

Квадратная матрица E на зывается един ичной, если все  элемент ы ее главной диагонали равны 1, а все  остальные — 0. Например,

E =  — един ичная матрица по рядка 3. Название един ичная об условлено тем , что для любой матрицы A и един ичной матрицы E со ответствующего по рядка справедливы равенства A E = A, E A = A. В час тности для квадратной матрицы A.: A E = E A = A.

Говорят, что квадратная матрица A им еет об ратную, если существ ует так ая квадратная матрица B, что A B = B A = E.

Матрица B на зывается об ратной матрицей к матрице A и об означается A^–1.

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

• Если матрица A им еет об ратную, то тол ько одну.

Действительно, если A им еет две об ратные матрицы B и C, то справедливы равенства A B = B A = E и A C = C A = E. Тогда B = B E = B (A C)  = (B A) C= E C = C. Матрицы B и C со впадают. Единственность об ратной матрицы до казана.

• (A^{– 1}) ^{– 1} = A. Доказательство очевидно, так  как A^{– 1}A = A A^{– 1} = E.
• (A B) ^{– 1} = B ^{– 1} A ^{– 1}.

Действительно, (A B) (B ^{– 1}A ^{– 1}) = A ( B B ^{– 1}) A ^{– 1} = A E A^{– 1} = A A^{– 1} = E;

(B ^{– 1}A ^{– 1}) (A B) = B ^{– 1} ( A^{– 1} A ) B = B ^{– 1} E B = B ^{– 1} B = E. Следовательно, матрица B ^{– 1}A ^{– 1} является об ратной для матрицы A B.

Доказанное утв ерждение справедливо для любого конечного числа множителей: (A B … C) ^{– 1} = C ^{– 1} … B ^{– 1} A^{– 1}.

Не кажд ая квадратная матрица им еет об ратную. Сформулируем критерий существ ования об ратной матрицы.

1. Курош А.Г. Курс вы сшей алгебры. М., 1968.
2. Проскуряков И.В. Сборник за дач по  линейной алгебре. М., 1962.
3. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного про граммирования. М., 1965.
4. Иванова Н.В., Колодко Л.С. Линейная алгебра. Индивидуальное рас четно-графическое за дание и мет одические указания по  его вы полнению. Н-ск, НГАЭиУ, 2017..
5. Максимов Ю.И. Методические указания по  математическому про грам- миро ванию. Ч.2. Жордановы ис ключения. НИНХ, 1981.© Л.С. Колодко 2017.
6. Энциклопедический слов арь юного математика /Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 2017.
7. Петраков И.С. Математические кружки в 8 –1 0 класс ах: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 2017.