Оператор Лапласа-Бельтрами

Одним из направлений изучения оператора Лапласа — Бельтрами −∆ = − div ∇ (1) на некомпактных римановых многообразиях является анализ его спектра. Первые результаты появились в 70-е годы XX века; это были исследования зависимости различных характеристик спектра от кривизны многообразия. Например, в работах Х. П. МакКина [1] и С. Т. Яу [2] получены нижние оценки инфимума спектра на многообразиях отрицательной гауссовой кривизны. В случае кривизны, ограниченной снизу некоторым неположительным числом, верхнюю оценку точной нижней грани спектра получил С. Я. Ченг [3]. Для двумерных поверхностей неположительной гауссовой кривизны М. Пински [4] доказал двусторонние оценки инфимума спектра и инфимума непрерывной части спектра в терминах метрики поверхности. Для произвольных многообразий отрицательной кривизны его результаты обобщили Х. Доннелли и П. Ли [5]. В работе А. Бейдера [6] получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на искривленных римановых произведениях. На многообразиях с концами для случая, когда концы, в сущности, — частный случай модельных многообразий, структуру спектра оператора (1) исследовал В. Мюллер [7]. Р. Брукс [8, 9] доказал двусторонние оценки точной нижней грани непрерывной части спектра в терминах роста объема многообразия.

В данной работе рассматривается зависимость спектра оператора (1) от метрики многообразия. Мы рассматриваем полное некомпактное риманово многообразие M без края, представимое в виде B ∪ D, где B — компакт, D изометрично произведению R+ ×S1×S2×· · ·×Sk (где R+ = (0, +∞), а Si — компактные римановы многообразия без края) с метрикой

ds² = dr² + q²₁(r)dθ²₁ + · · · + q²_k(r)dθ²_k,

где dθ²_i - метрика на S_i, а q_i(r) - гладкие положительные на R+ функции.

Будем считать, что dim S_i = ni , тогда dim D = n₁ + n₂ + · · · + n_k + 1 = n.

Поведение гармонических функций (т. е. решений уравнения ∆u = 0) на этих многообразиях достаточно подробно исследовал А. Г. Лосев [10, 11], который предложил называть многообразия, подобные D, простыми скрещенными произведениями порядка k.

Такие многообразия, очевидно, обобщают модельные, т. е. сферически симметричные, многообразия. Следовательно, частным случаем (k = 1, q₁(r) ≡ q(r), S₁= S_n−1−(n−1) -мерная сфера) исследуемых многообразий являются Rⁿ(q(r) = r), гиперболическое пространство Hⁿ(q(r) = sh r), а также все поверхности вращения.

Многообразие M называют многообразием с концом [11–13]. Поскольку его конец D — простое скрещенное произведение, оно является простейшим случаем квазимодельного многообразия [11]. Заметим, что нас будет интересовать случай, когда борелева мера µ многообразия M не обязательно совпадает с римановым объемом. В этом случае пару (M, µ) называют весовым многообразием. В цитируемых работах исследованы такие свойства этих многообразий, как разрешимость задачи Дирихле, выполнение теорем типа Лиувилля и др. В данной работе получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на описанных многообразиях. А именно, доказано, что оператор Лапласа — Бельтрами −∆ на весовом многообразии (M, µ) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда в случае конца конечного весового объема выполнены условия

Здесь Vµ(·) означает весовой объем соответствующей области, capµ(·, ·) - весовую емкость соответствующего конденсатора, а capµ(·) - весовую емкость шара (эти объекты вводятся ниже) и подразумевается, что B(o, r) ⊂ D, o - полюс D.

Структура работы следующая: в § 2 напоминаем некоторые фундаментальные определения и формулируем используемые далее известные утверждения, в § 3 доказываем основную теорему и приводим несколько примеров.

1. Baider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J. Differential Geom. 1979. V. 14. P. 41–57.
2. Brooks R. A relation between growth and the spectrum of the Laplacian // Math. Z. 1981. Bd 178. S. 501–508.
3. Brooks R. On the spectrum of non-compact manifolds with finite volume // Math. Z. 1984. Bd 187. S. 425–432.
4. Cheng S. Y. Eigenvalue comparison theorem and its geometric applications // Math. Z. 1975. Bd 143. S. 289–297.
5. Cа до вни чи й В.А. Те о ри я о пе ра то ро в – М.: Дро фа ,2004 – V.4 – p. 173-174.
6. Donnelly H., Li P. Pure point spectrum and negative curvature for noncompact manifolds // Duke Math. J. 1979. V. 46. P. 497–503.
7. Grigor’yan A. A. Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 135–249.
8. M¨uller W. Spectral theory for Riemannian manifolds with cusps and a related trace formula // Math. Nachr. 1983. V. 111. P. 197–288.
9. McKean H. P. An upper bound for the spectrum of ∆ on a manifold of negative curvature // J. Differential Geom. 1970. V. 4. P. 359–366.
10. Pinsky M. The spectrum of the Laplacian on a manifold of negative curvature I // J. Differential Geom. 1978. V. 13. P. 87–91.
11. Schechter M. Spectra of partial differential operators. Amsterdam: North-Holland, 1971.
12. Yau S. T. Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a complete Riemannian manifold // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4). 1975. V. 8. P. 487–507.

Всего 27 источников литературы