Курсовая Теорема Коши-Гурса

Актуальность

Среди всех наук математика занимает особое место. Математика определяется как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Конечно, если учесть современное состояние математики и разнообразие изучаемых ею структур, то пространственные формы и количественные отношения необходимо понимать в самом общем виде.

Математика дает другим наукам язык чисел и символов для выражения различного рода отношений между явлениями природы. Но прежде чем применить математику, биолог, физик или экономист должны глубоко понять суть изучаемого явления, расчленить его на части, поддающиеся математической обработке.

Объектами изучения в самой математике являются логические модели, построенные для описания явлений природы и общества. Математика изучает соотношения между элементами этих моделей. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет вскрывать и необнаруженные вначале закономерности, т. е. математика способна вскрывать и качественную сторону явления.

Поэтому проблема исследования состоит в анализе методов решения задач на нахождение интегралов от функций комплексного переменного.

         Тема дипломной работы: теорема Коши-Гуса.

Объектом исследования является задача Коши-Гурса.

Предмет исследования: решение задачи Коши-Гурса.

Цель исследования состоит в анализе и определении оптимальных способов решения задачи Коши-Гурса и задач на интегрирование функций комплексного переменного.

Гипотеза исследования заключается в том, что в зависимости от конкретных особенностей той или иной задачи на нахождения интеграла от функции комплексного переменного, способов ее решение может быть несколько.

Выделяя этапы достижения цели исследования, мы поставили следующие задачи:

Задачи исследования:

1)    Дать понятие интегралу от функции комплексного переменного.

2) Рассмотреть свойства интеграла от функции комплексной переменной.

3)  Изучить Лемму Гурса.

3) Дать определение интегральной теореме Коши.

4)  Изучить интегральную теорему Коши-Гурса и её обобщение на многосвязные области.

5) Рассмотреть различные способы вычисления интегралов от функции комплексного переменного по пути, по контуру.

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования: анализ научной литературы, задачников по геометрии, беседы с преподавателями вузов. Методы научного познания: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия.

Теоретическая значимость. Систематизация теоретического материала по теме, обоснование целесообразности ее использования в практике обучения математике (кружки, элективные курсы).

Практическая значимость. Разработка банка задач с решениями по теме, обоснование выбора оптимального метода их решения.

Научная новизна работы. Создание разноуровневой системы задач по теме и обоснование целесообразности ее использования на элективных курсах по математике в условиях профильного дифференциального обучения.

Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения, списка библиографии.

Глава I посвящена теоретическому изучению интегралов от функции комплексного переменного.

Во II главе представлены решения задач на нахождение интегралов от функции комплексного переменного по пути, по контуру.

1 Теоретическая часть

1.1 Интеграл от функции комплексной переменной и его связь с криволинейными интегралами

Введем на комлексной плоскости С евклидову метрику, отождествляя С с евклидовой плоскостью (т.е. декартовой плоскостью, наделенной стандартной евклидовой метрикой). Эта метрика определяет и естественную топологию на С, в которой база окрестностей произвольной точки задается кругами 

нет