Приближенные методы решения нелинейных уравнений (вариант 7)

Одной из важных и наиболее распространенных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, которые встречаются в разных областях научных исследований. В своей деятельности инженеру-химику-технологу достаточно часто приходится решать нелинейные уравнения.

Например, необходимо решать нелинейные уравнения при расчетах:

• тепловых балансов
• процессов однократного испарения
• смесителей
• процесса отстаивания
• диаметров нефтепроводов и т.д.

Нелинейные уравнения широко представлены в расчетах физико-химических характеристик систем, например, при вычислении констант фазового равновесия. Любое уравнение в общем виде можно представить:

Задача решения этого уравнения заключается в нахождении таких значений x, при которых это уравнение превращается в тождество, т.е. в ноль: f(ξ) = 0, где ξ – корень уравнения.

Нелинейные уравнения делятся на 2 типа:

• алгебраические
• трансцендентные

Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции. Алгебраическое уравнение можно представить в виде полинома n-ой степени:

Трансцендентными называются уравнения, которые содержат другие функции (показательные, тригонометрические, логарифмические и т.д.).

1. Методы решения нелинейных уравнений

В настоящее время можно отметить следующие методы решения нелинейных уравнений:

• прямые
• итерационные

Прямые методы позволяют записать корни уравнения в виде формулы. Например, корни квадратного уравнения

записываются по формуле:

Такие уравнения далее рассматриваться не будут, а будут рассмотрены именно, приближенные методы решения  нелинейных уравнений, т.е. итерационные.

Решение нелинейных уравнений итерационными методами проводится в 2 этапа:

1. Отделение корней, т.е. установление малых отрезков, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.
2. Уточнение корней до некоторой заданной степени точности.

Для того, чтобы отделить корни достаточно воспользоваться двумя способами:

• графический
• аналитический

Первый способ основан на построении графика функции, например, с помощью программы MS Excel, а далее смотрится промежуток, где видно пересечение с осью Ох. 

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1999. Ч. 2. 415 c.
2. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И.А. Марон. – М: Наука, 1970. 664 с.
3. Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – М: Высш. шк., 1990. 207 с.
4. Вержбицкий В.М. Численные методы / В.М. Вержбицкий. – Высш. шк., 2001. 382 с.
5. Бырдин А.П. Методические указания к контрольной работе по спецглавам математики для студентов инженерно-технических специальностей   заочной  формы обучения /А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко. -  Воронеж, ВГТУ, 2013г.