Цепные дроби как элемент школьной олимпиадной математики

На текущем этапе развития общеобразовательная школа уделяет большое внимание проблеме предоставления учащимся возможности глубокого и фундаментального обучения с помощью учебных материалов, повышения продуктивности обучения и развития у школьников стремления к обучению. Поэтому учителя всегда ищут способы улучшить учебный процесс. Ученые и педагоги, занимающиеся проблемой изучения уровня знаний учащихся по математике, пришли к выводу, что накопление знаний по математике среди учащихся обычной школы должно быть лучше.

Актуальность исследования.Применение а.ппарата це.пных дробе.й к прикла.дным задач.ам, в том ч.исле олимп.иадного хар.актера, поз.воляет углуб.ить математ.ические зн.ания, расш.ирить кругозор и по.высить мот.ивацию к изуче.нию математ.ики.

Проблема: разработка курса практического применения цепных дробей как средство обучения решению олимпиадных задач по математике.

Цель исследования: изучение цепных дробей как элемент школьной олимпиадной математики.

Объект исследования:цепные дроб.и.

Предмет исследования: применение последовательности по.дходящих дробе.й для реше.ния диафанто.вых уравне.ний и друг.их задач.

Задачи исследования включают:

1. рассмотреть понятие о цепных дробях;
2. изучить тетические основы применения цепных дробей;
3. рассмотреть подготовку к математическим олимпиадам. Тематические сборники;
4. проанализировать методические разработки применения цепных дробей как средство обучения решению олимпиадных задач по математике.

Гипотеза исследования:применение це.пных дробе.й позволяет н.айти один из с.пособов ре.шения диоф.антовых ур.авнений и дру.гих задач о.лимпиадного х.арактера.

Практическая значимость.

Действительные ч.исла одноз.начно отобр.ажаются це.пными дроб.ями. Основ.ное значен.ие такого изобр.ажения зак.лючается в то.м, что, зн.ая цепную дроб.ь, изображ.ающую дейст.вительное ч.исло, можно о.пределить это ч.исло с дост.аточной точ.ностью.

Содержание работы может быть использовано в дальнейшем при обучении школьников цепным дробям.

Курсовая работа содержит введение, две главы разделенные на параграфы, заключение, список источников.

Глава 1 Теоретические аспекты понятия цепные дроби

• Понятие о цепных дробях

Дробь можно з.аписать в в.иде суммы це.лой части и пр.авильной дроб.и: . Но , а д.альше: . З.начит, . Д.алее получ.им .

Продолжим этот про.цесс до те.х пор, пок.а не приде.м к знамен.ателю. В резу.льтате мы пре.дставим об.ыкновенную дроб.ь в виде:

Эйлер назв.ал дроби т.акого вида непрерывными.Приблизительно в то же вре.мя в Герма.нии появилс.я другой тер.мин – цепная дробь.Так за эти.ми дробями и со.хранились об.а названия. В.виду громоз.дкости раз.вернутой з.аписи цепно.й дроби пр.именяют ко.мпактную з.апись.

В качестве пр.имера предст.авим дробь в в.иде цепной дроб.и:.

Или в комп.актной фор.ме: [1; 3, 2, 4 ].

Удобно получ.ить разложе.ние обыкно.венной дроб.и с помощь.ю алгоритм.а Евклида.

40. 31
41. 1

31 9

27 3

9 4

8 2

4 1

4 4

0

Мы знаем р.азложение в не.прерывную дроб.ь обыкнове.нной дроби, то ест.ь рационал.ьного числ.а. Любое р.ациональное ч.исло можно пре.дставить в в.иде непрер.ывной конеч.ной дроби. Ко.нечность с.ледует из а.лгоритма Е.вклида. Но в в.иде непрер.ывной дроб.и можно за.писать любое де.йствительное ч.исло. Здес.ь незамени.мы только ко.нечные непрер.ывные дроб.и. Мы собир.аемся предст.авить расш.ирение в в.иде непрер.ывной дроб.и числа.

Т.е. в ком.пактной фор.ме = [1: 2, 2, 2, 2, 2…].

Оказывается, к.вадратичные ирр.ациональност.и (т.е. чис.ла вида , г.де a, b, c -рациональные ч.исла), и то.лько они р.аскладываютс.я в бесконеч.ные периодическиедроби. На этот ф.акт впервые у.казал Эйлер, стро.гое его до.казательст.во дал Лагр.анж.

Если оборв.ать дробь н.а знаменате.ле , то ост.анется дроб.ь . Обраща.я ее в обы.кновенную, по.лучим. Это в.ыражение н.азывают k-й подходяще.й дробью д.ля исходно.й цепной дроб.и.

Например, д.ля нашей дроб.и имеем:

нулевая по.дходящая дроб.ь: ,

первая под.ходящая дроб.ь: ,

вторая под.ходящая дроб.ь: ,

третья под.ходящая дроб.ь: . Она р.авна самому ч.ислу.

Для цепной дроб.и, предста.вляющей чис.ло, имеем с.ледующие по.дходящие дроб.и:

нулевая по.дходящая дроб.ь: ,

первая под.ходящая дроб.ь: ,

вторая под.ходящая дроб.ь: ,

третья под.ходящая дроб.ь: и т.д.

15 источников