Интеграл - одно из основных понятий математического анализа возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным, например, находить длину пути, пройденного движущейся точкой, по её скорости. С другой стороны, измерять площади, объемы, работу сил за определенный промежуток времени и т.п.
Поверхностный интеграл - интеграл от функции заданной какой-либо поверхности. Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассматриваются интегралы двух типов: поверхностные интегралы первого и второго рода, их определения аналогичны соответствующим определениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностного интеграла второго рода на поверхности необходимо задать ориентацию. Как и для криволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхностные интегралы первого и второго рода. Однако в отличие от кривой, которая определяется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо уже два параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного интеграла Римана, как для криволинейных интегралов).
Цель данной работы: изучить и систематизировать теоретический и практический материал по теме «Поверхностные интегралы и их приложения».
Задачи:
- Систематизировать теоретический материал по данной теме.
- Выявить практическое применение данного материала.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Глава I. Поверхностные интегралы I и II рода
-
1. Определения поверхностных интегралов
Первоначально рассмотрим определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём и площадь части (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .
Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.
Дадим теперь определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность , на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке задана сторона поверхности), и на которой определена функция R(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём , нормаль в точке к выбранной стороне поверхности, и площадь проекции части на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое возьмём со знаком "+", если (т.е. если угол между и осью Oz - острый; проекция на орт оси Oz положительна), и со знаком "-", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам х, у, и обозначается .
Теорема существования. Если функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.
§2. Поверхностные интегралы, как пределы интегральных сумм.
В теории математики поверхностные интегралы также рассматриваются как пределы интегральных сумм.
Рассмотрим физическую задачу. Пусть через объём V течёт поток жидкости, имеющий скорость в точке М. Пусть в V размещена проницаемая (возможно, воображаемая) поверхность . Требуется найти количество жидкости, протекающей через за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.
В случае, когда - ограниченная плоская область и , решение очевидно. Это количество равно объёму, ограниченному цилиндрической поверхностью с основанием и боковой стороной . Площадь основания объёма равна (этим символом мы обозначаем и поверхность, и её площадь), высота , т.е. равна скалярному произведению вектора скорости на единичный вектор нормали. Итак, . Заметим, что изобразив на рисунке единичный вектор нормали, мы ввели на поверхности ориентацию. Так, применительно к рисунку справа, мы выбрали верхнюю сторону поверхности; если бы выбрали противоположную нормаль, поток изменил бы знак.
Возможны два способа представления этой величины.
- Обозначив , получим .
- Если в некоторой координатной системе имеет координаты P, Q, R, единичный вектор имеет координаты - направляющие косинусы cosa, cosb, cosg, то
Произведение равно площади проекции поверхности на плоскость Oxy (площади всегда положительны). Следовательно, равно , если (или, что то же самое, угол - острый; проекция на орт оси Oz положительна).
Этот случай соответствует рисунку 1а). Соответственно, равно , если (или, что то же самое, угол - тупой; проекция на орт оси Oz отрицательна). Этот случай соответствует рисунку 1б). Итак, можно записать . Аналогично изложенному, , где следует взять знак "+", если угол - острый, и "-", если этот угол тупой, и , где берётся знак "+", если угол - острый, и "-", если этот угол тупой; - проекция на плоскость Oyz, - - проекция на плоскость Oxz. Окончательно, .
Пусть теперь - произвольная гладкая ограниченная поверхность, и скорость может меняться от точки к точке. Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём сетью кривых на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , и, считая, что - плоская область, скорость по постоянна и равна и что ориентация всей части характеризуется единичным нормальным вектором , получим, что через в единицу времени протекает жидкости ( ). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде (где - угол между и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем дугам, получим выражения двух интегральных сумм: и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при приведёт к двум поверхностным интегралам: и . Первый из этих интегралов называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности. Во втором интеграле элементы площади в координатных плоскостям принято записывать так, как мы это делали в двойном интеграле: и опускать знаки перед слагаемыми: ; этот интеграл называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам. Как и криволинейные интегралы двух родов, это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, поверхностный интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности, так как угол входит в подынтегральную функцию в явном виде, в то время как поверхностный интеграл второго рода меняет знак при изменении стороны поверхности (вектор меняется на ).
