Решение дифференциальных уравнений и систем при помощи интегральных преобразований (Фурье, Лапласа и т.д.)

Решение дифференциальных уравнений является весьма трудоёмким и зачастую творческих процессом. Для облегчения этого процесса в математике разработано множество различных методов, одним из которых является метод интегральных преобразований. Этот метод получил название операционного или символического исчисления, который широко применяется для решения многих классов линейных дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, а также линейных интегро-дифференциальных уравнений типа свертки. К этим классам уравнений приводят многие задачи электротехники, радиотехники, теории автоматического регулирования и ряда других областей науки и техники.

Операционный метод был предложен известным американским электротехником и физиком О. Хевисайдом (1892 г.). Он предложил формальные правила обращения с оператором ? ?? и некоторыми функциями этого оператора, используя которые решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах О. Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Только в 20 –е годы ХХ века этот метод получил обоснование в работах Бромвича и Карсона.

Наиболее часто применяемыми интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье, Ханкеля, Бесселя и т. д. В математической литературе имеется достаточно много сведений в теоретическом плане, но в ней мало сведений о приложении операционного метода, например, решение дифференциальных уравнений высших порядков. Применение операционного метода позволяет решать такие задачи, которые ранее были неразрешимы. Отсюда вытекает актуальность выбранной темы курсовой работы.

Целью данной курсовой работы является изучение интегральных преобразований Лапласа и Фурье и применение их к решению дифференциальных уравнений и систем.

Задачи курсовой работы:

изучить суть интегрального преобразования Лапласа и его основные свойства;

изучить суть интегрального преобразования Фурье и его основные свойства;

применить указанные методы к решению дифференциальных уравнений и систем.

На основе преобразований Лапласа и Фурье показаны способы перехода от оригинала к изображению функции, что представляет собой значимый шаг в области решения задач операционным методом.

Работа носит теоретический и практический характер, результаты работы могут быть применены при изучении приложений преобразований Лапласа и Фурье в математическом анализе.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Первая глава посвящена изучению теоретических вопросов интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Во второй главе рассмотрены решения практических задач: решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. М.: Изд-во ЛКИ, 2008.- 248 с.
2. Васильева А. Б., Медведев Г. Н., Тихонов Н. А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах, М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003.- 432 с.
3. Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: учеб. для вузов. 2-е изд./Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М.: МГТУим. Н. Э. Баумана, 2002. – 228с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М., 1965.
5. Колмогоров А.Н., С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.
6. Краснов М. Л. Интегральные уравнения (Введение в теорию), М.: Наука,1975.
7. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Уч. пособие, 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1981.
8. Сидоров Ю. В. Лекции по теории функции комплексного переменного, M.: Наука, 1989.
9. Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье: учебно-методическое пособие / сост.: Н.П. Семенчук, Н.Н. Сендер; Брест. Гос. Ун-т имени А.С. Пушкина. – Брест: БрГУ, 2011. – 42 с.
10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Учеб. пособие. Изд.5-е. М.: Наука, 1977.- 736с.